МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЕМ. Часть 1
Математические задачи с решениями: расчетные, головоломные и на стратегии математических игр. Источники разнообразные, только решения таких задач не является объектом авторского права.
Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?
64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.
Решение:
1) 82+31+78=192 (чел.) – удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2) 192:2=96 (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96−32=64 (чел.) – поют в хоре;
4) 96−78=18 (чел.) – занимаются танцами;
5) 96−82=14 (чел.) – занимаются художественной гимнастикой.
Имеется двузначный квадрат целого числа. Если вставить одну цифру между существующими двумя, то получится трехзначный квадрат целого числа. Какие трехзначные квадраты чисел мы получаем?
Решение:
Проанализируем все возможности. Прежде всего, составим исчерпывающий список двузначных квадратов целых чисел, их шесть:
16, 25, 36, 49, 64, 81.
Теперь составим исчерпывающий список трехзначных квадратов целых чисел:
100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.
Выберем из второго списка те числа, которые можно составить, вставив какую- либо цифру между первой и второй цифрами двузначных квадратов целых чисел. Такому условию удовлетворяют только 196 (вставлена 9 между цифрами числа 16), 225 (вставлена 2 между цифрами числа 25) и 841 (вставлена 4 между цифрами числа 81). Два исчерпывающих списка сделали очевидными все возможности. Обратите внимание на то, что исчерпывающий список не только содержит ответ задачи, но ограничивает количество исследуемых возможностей.
На столе стоят два стакана. Первый стакан пуст, а во втором налито немного воды. Половину содержимого второго стакана переливают в первый. Это повторяется еще дважды: каждый раз половину воды, которая осталась во втором стакане, переливают в первый. После трех таких переливаний первый стакан оказался наполовину полон. Сколько воды осталось во втором стакане?
Решение:
Ясно, что количество переливаемой воды каждый раз уменьшалось вдвое. Посмотрим на процесс с конца:
1. В третий раз перелили одну «часть» воды.
2. Во второй раз перелили две «части» воды.
3. В первый раз перелили четыре «части» воды.
Таким образом, после трех переливаний в первом стакане оказалось 7 «частей» воды, а в первом — одна «часть».
Семь «частей» составляют половину стакана, то есть одна «часть» равняется 1/14 стакана. Значит, после трех переливаний во втором стакане осталась 1/14 стакана.
У нас 100 кг свежих ягод, в которых 99% массы приходится на воду. Через некоторое время содержание воды в ягодах уменьшается до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Чаще всего говорят, что после испарения 1% воды вес ягод должен уменьшиться до 99%, а значит ягоды весят 99 кг. Это неправильно.
Исходно в ягодах содержится 99% воды, т.е. в них 99 кг воды и 1 кг сухого вещества, иначе говоря, масса сухих ягод составляет 1%. Масса сухого вещества не меняется: в конце процесса сушки она так и останется равной 1 кг. Вместе с тем доля того, что не является водой, удваивается до 2%.
Для того, чтобы нечто, имеющее фиксированное количество (1 кг сухого вещества в нашем случае), удвоило свою долю (с 1% до 2%), суммарное количество смеси должно уменьшиться в два раза. В начале у нас был 1% сухого вещества, или 1/100, а в конце — 2%, или 2/100 = 1/50, т.е. мы получаем 1 кг сухого вещества в 50 кг суммарной массы. Таким образом, в конце в ягодах остается 49 кг воды.
Найдите все пары простых чисел, сумма которых равна 955.
Решение:
Если сумма двух чисел является нечетным числом, то одно из слагаемых должно быть нечетным, а другое — четным. Как известно, существует только одно четное простое число — 2. Значит, другим числом должно быть 953 (а 953 — это простое число). Таким образом, мы нашли все пары, которые удовлетворяют условиям задачи.
Палиндромическим называют такое число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Примерами трехзначного и четырехзначного палиндромов являются 252 и 9779. Маша выписала все трехзначные палиндромы на листочки бумаги и положила их в большую коробку. Миша выписал все четырехзначные палиндромы и положил листочки с числами в ту же коробку. Учитель тщательно перемешал листочки и попросил Лену взять один из них не глядя. Какова вероятность того, что она вытащит четырехзначный палиндром?
Решение:
Один из способов решения — выписать все трехзначные и четырехзначные палиндромы, пересчитать их и определить искомую вероятность. Такой подход дает надежный результат, хотя и требует времени. Вместе с тем логическое рассуждение позволяет упростить работу. В качестве примера трехзначного палиндрома можно взять 252. Чтобы превратить его в четырехзначный палиндром, нужно всего лишь удвоить среднюю цифру — 2552. Повторяя это действие, мы можем превратить каждый трехзначный палиндром в четырехзначный. Таким образом, количество четырехзначных палиндромов равно количеству трехзначных, и вероятность выбора листочка с четырехзначным палиндромом составляет один из двух, или 0,5.
В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили еще по одному. Еще через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?
Решение:
Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x. Значит, добавилось еще x – 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x – 1 =1197, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599. Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y. Получаем, что 2y – 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300.
Ответ : 300.
С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?
Решение:
Число 74 можно получить из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр):
74 ← 37 ← 73; 74 ← 47.
Числа 37 и 47 нечетные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечетное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.
Ответ: нельзя.
Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут на поле. Макс и Сэм, которые не только играют в футбол, но и входят в состав математической команды, останавливаются на особой паре номеров. Когда их номера возводят в квадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся из этих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?
Решение:
Прежде всего, можно ограничить количество чисел, из которых делается выбор. При возведении в квадрат двузначное число дают числа от 4 до 9, поскольку квадраты 1, 2 и 3 — это однозначные числа, а квадраты 10, 11, …, 31 — трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать из следующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с 16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это не квадрат простого числа), то нам нужно оценить и 2516 (тоже не квадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно в пару к 16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и 81, то мы получим число 1681, равное 412. Макс и Сэм выбрали в качестве своих номеров числа 4 и 9.
Обратите внимание на то, что числа 3 и 4 тоже работают, так как 32 = 9, а 42 =16. При размещении рядом друг с другом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако в условиях задачи говорится о четырехзначном числе, так что этот ответ исключается.
Максим начинает отсчитывать натуральные числа в порядке увеличения: 1, 2, 3, 4, …, а Саша ведет отсчет с той же скоростью, но в обратном порядке от числа x: x, x – 1, x – 2, x – 3, x – 4, … Когда Максим доходит до 52, Саша называет число 74. С какого числа (x) Саша начал обратный отсчет?
Решение:
Столкнувшись с такой задачей, многие пытаются воспроизвести описанную ситуацию, т.е. выполнить одновременно процедуры отсчета, чтобы посмотреть, какой получится результат. Сложность здесь, однако, заключается в том, что начальное число для обратного отсчета неизвестно, поэтому, скорее всего, будут использоваться прямой отсчет и метод последовательного приближения. Это не только долго, но и очень трудно.
Заметим, что Максим отсчитал 52 числа, а значит и Саша отсчитал такое же количество чисел. Можно представить 52 -е число Саши как x – 51. Как известно, это число равно 74. Таким образом, мы получаем уравнение x – 51 = 74, из которого следует, что x = 125.
Средний результат Марины в 11 тестах равен 80. При определении итогового среднего результата учительница проявляет благосклонность и отбрасывает низший результат. В нашем случае она отбрасывает 30. Какой итоговый средний результат у Марии?
Решение:
Будем двигаться от среднего результата Марины. Среднее (или среднее арифметическое) обычно определяется путем сложения всех результатов и деления суммы на количество результатов. Если средний результат 11 тестов равен 80, то сумма результатов 11 тестов должна составлять 11 × 80 = 880. (Обратите внимание на то, что мы умножаем на 11, т.е. выполняем обратное действие по отношению к первоначальному делению на 11.) Вычтем результат 30, который учительница отбросила, и уменьшим количество тестов на единицу. Таким образом, суммарный результат 10 тестов равен 850. Итоговый средний результат Марины равен: 850 : 10 = 85.
Два поезда, находившиеся на расстоянии 800 км друг от друга, сближаются по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 80 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения?
Решение:
Эта задача может напомнить известные примеры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала муха. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.
Значительно более изящный подход предполагает другое решение. Мы ищем расстояние, которое пролетела муха. Если знать время, в течение которого летала муха, то определить пройденное расстояние будет легко, поскольку скорость мухи известна.
Время полета мухи узнать несложно, так как оно равно времени движения поездов до столкновения. Для определения времени t движения поездов составим следующие уравнения.
Расстояние, пройденное первым поездом равно 60t, а второго — 40t. Суммарное расстояние, пройденное поездами, составляет 200 км. Таким образом, 60t + 40t = 800, а t = 8 часам. Иначе говоря, муха летала 8 часов. Теперь можно найти расстояние, которое пролетела муха: 8 × 80 = 640 км. Внешне невероятно трудное задание определить расстояние, пройденное летающей туда-сюда мухи, было сведено к довольно обычной задаче «на равномерное движение», решение которой очевидно.
В Вашем распоряжении 11-литровый и 5-литровый сосуды. Как можно отмерить точно 7 литров воды?
Решение:
В конечном итоге нам нужно получить 7 литров воды в 11-литровом сосуде, оставив свободным пространство объемом 4 литра. Откуда взялись эти 4 литра? Чтобы получить 4 литра, мы должны оставить 1 литр воды в 5-литровом сосуде. Но как получить 1 литр в таком сосуде? Наполните 11 -литровый сосуд водой и дважды отлейте воду в 5-литровый сосуд. В 11-литровом сосуде останется ровно 1 литр воды. Вылейте этот 1 литр в 5-литровый сосуд. Теперь наполните 11-литровый сосуд и отлейте из него 4 литра воды в 5-литровый сосуд до его заполнения. В 11-литровом сосуде останутся требуемые 7 литров воды.
Учтите, что задачи подобного типа не всегда имеют решение. Иначе говоря, если вы хотите составить новую задачу такого вида, следует знать, что решение существует только в тех случаях, когда разница величин, кратных емкостям двух сосудов, может быть равной заданному объему. В нашем случае 2 × 11 – 3 × 5 = 7.
Как проще всего отмерить 15 минут, необходимые для варки яиц, имея под рукой семи- и 11-минутные песочные часы?
Решение:
Приведем два возможных решения. Первое из них является оптимальным с точки зрения продолжительности всех операций, второе — с точки зрения того, сколько раз приходится переворачивать часы.
1. Положив яйцо в воду, пустите одновременно семи- и 11-минутные часы. По истечении 7 минут переверните семиминутные часы в первый, а по истечении 11 минут (когда весь песок из верхней половины 11-минутных часов пересыплется в нижнюю половину) — во второй раз. Песок перестанет пересыпаться из верхней половины семиминутных часов в нижнюю как раз к концу пятнадцатой минуты.
2. Перевернув одновременно семи- и 11-минутные часы, начинаем отсчет времени. После того как верхняя половина семиминутных часов опустеет, кладем яйцо в воду. Дождавшись, когда весь песок из верхней половины 11-минутных часов пересыплется в нижнюю, переворачиваем их. Когда верхняя половина 11-минутных песочных часов снова опустеет, с момента начала варки яиц пройдет ровно 15 минут.
Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?
Решение:
Первая естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возвести в квадрат и подсчитать те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удвоить, чтобы учесть числа от –1 до –100.
Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9.
Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99.
Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.
Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте. В последний день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку два охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны. После того как каждый охотник сделал четыре выстрела, у всех охотников вместе осталось столько патронов, сколько было после дележа у каждого. Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?
Решение:
После того, как охотники втроем израсходовали 3×4 = 12 патронов, у них осталось в совокупности столько патронов, сколько было после дележа у каждого, то есть одна треть от исходного количества. Значит, они израсходовали две трети патронов. Если 12 — это две трети, то одна треть — это 6, а всего в момент дележа было 6 × 3 = 18 годных патронов.
За сколько вопросов можно наверняка отгадать целое число, заключенное между 1 и 64, если на вопросы отвечают только «да» и «нет»?
Решение:
Следует придумать такой вопрос, чтобы после получения ответа на него количество возможных вариантов уменьшалось в два раза.
Если спросить, находится ли загаданное число в первой половине данных чисел, расположенных по возрастанию, то при положительном ответе число возможных вариантов сузится до первой половины данных чисел, а при отрицательном — до второй. То есть число вариантов в любом случае уменьшится в два раза, т. е. до 32.
Если спросить, находится ли загаданное число в первой половине уже отобранных чисел, расположенных по возрастанию, то при положительном ответе число возможных вариантов сузится до первой половины отобранных чисел, а при отрицательном — до второй. То есть число вариантов в любом случае уменьшится еще в два раза, т. е. до 16.
Задав еще раз такой вопрос, уменьшим количество возможных вариантов до 8, затем до 4, затем до 2 и, наконец, до одного варианта.
В итоге нам понадобится задать 6 вопросов.
Ответ: За 6 вопросов.
Следующая беседа имела место между чиновником Министерства социального обеспечения одной далекой страны и претендентом на детское пособие:
— Сколько у вас детей?
— Трое.
— Сколько им лет?
— Произведение их возрастов равно 36.
— Вы должны дать мне больше информации.
— Сумма их возрастов равняется номеру магазина напротив вашего офиса.
— Этого еще недостаточно.
— Вы правы. Могу еще сказать, что старший сын рыжий.
— Теперь мне все понятно...
Сколько лет детям?
Решение:
Число 36 раскладывается в произведение трех целых положительных множителей одним из следующих способов:
36 = 1 × 1 × 36 (сумма множителей 38); 36 = 1 × 2 × 18 (сумма множителей 21);
36 = 1 × 3 × 12 (сумма множителей 16); 36 = 1 × 4 × 9 (сумма множителей 14);
36 = 1 × 6 × 6 (сумма множителей 13); 36 = 2 × 2 × 9 (сумма множителей 13);
36 = 2 × 3 × 6 (сумма множителей 11); 36 = 3 × 3 × 4 (сумма множителей 10).
Поскольку после третьего ответа (о сумме возрастов) чиновник все еще не мог определить точный возраст детей, значит, эта сумма должна встречаться в приведенном выше списке более одного раза. Этому условию удовлетворяет только сумма 13.
Своей последней подсказкой посетитель указал на то, что у него есть один старший сын, поэтому первый вариант (1, 6, 6) не подходит.
Следовательно, возраст детей составляет 2, 2 и 9.
Денис вернулся после четырех раундов игры в бейсбольные карточки. В его набор теперь входят 45 карточек. Когда я поинтересовался его успехами, он ответил, что потерял половину карточек в первом раунде. Во втором раунде он выиграл в 12 раз больше того, что было у него в тот момент. В третьем раунде выигрыш составил 9 карточек. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому количество карточек у игроков не изменилось. Сколько карточек было у Дениса перед началом игры?
Решение:
Можно, конечно, составить ряд уравнений и попробовать решить задачу напрямую. Однако давайте посмотрим, сработает ли здесь подход от обратного. У нас есть конечный результат (45 карточек), а найти нужно начальное количество. Это своего рода «метка» типичной задачи, эффективно решаемой с помощью вычисления от обратного. Итак, Денис закончил игру с 45 карточками. Четвертый раунд закончился вничью, поэтому в конце третьего раунда у него были все те же 45 карточек. В третьем раунде выигрыш составил 9 карточек, значит в конце второго раунда количество карточек было равно 36. Во втором раунде мальчик выиграл в 12 раз больше карточек, чем было, поэтому в конце первого раунда он должен был иметь 3 карточки. В первом раунде Денис проиграл половину своих карточек, таким образом, он начал игру с 6 карточками.
Разложите по семи кошелькам 127 рублевых монет так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков (другими словами, отдав содержимое одного или нескольких кошельков).
Решение:
Любое число можно представить в виде суммы степеней двойки. Следует набирать суммы последовательно, начиная с 1 рубля.
Так как мы должны иметь возможность отдать 1 р., то один из кошельков должен быть с 1 р. Во второй кошелек положим 2 р. Для того чтобы набрать 3 р., мы можем использовать два первых кошелька. В третий кошелек положим 4 р. Теперь мы можем набрать любое количество рублей до 7 р. включительно. В четвертый кошелек положим 8 р. Теперь мы можем набрать любое количество рублей до 15 р. включительно. В пятый кошелек положим 16 р. Теперь мы можем набрать любое количество рублей до 31 р. включительно. В шестой кошелек положим 32 р. Теперь мы можем набрать любое количество рублей до 63 р. включительно. В седьмом кошельке останется 64 р. И мы сможем набрать любое количество рублей до 127 р. включительно.
Таким образом, мы представили число 127 в виде суммы 1+2+4+8+16+32+64 и любое число, меньшее 127, можно представить в виде суммы нескольких слагаемых из этого набора.
Ответ: 127=1+2+4+8+16+32+64.