МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЕМ. Часть 6
Математические задачи с решениями: расчетные, головоломные и на стратегии математических игр. Источники разнообразные, только решения таких задач не является объектом авторского права.
Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, а кончает его в правом верхнем. Мо¬жет ли конь при этом побывать на всех полях доски в точ¬ности по одному разу?
Решение:
При каждом ходе конь меняет цвет поля. Так как начальное и конечное поля одного цвета, то конь сде¬лает четное число ходов. Но это противоречит тому, что коню надо сделать 63 хода, чтобы побывать на каждом поле.
Ответ: не может.
Найдите все трехзначные числа, которые равны про¬изведению числа, записываемого двумя их последними цифрами, на число, выражаемое их последней цифрой.
Решение:
Будем искать число abc. Запишем условие задачи в виде равенства
100a + 10b + с = (10b + с) с.
Очевидно, что с≠0. Перепишем равенство в виде
100а = (10b + с)(с — 1).
Левая часть равенства делится на 25, значит, и правая часть делится на 25. Но если с — 1 делится на 5, то (10b + с) уже не делится на 5, что невозможно. Значит, (10b + с) делится на 25, что возможно, когда это число равно 25 или 75 (с≠0), т. е. искомые числа —125 и 375.
Ответ: 125 и 375.
Каждая грань кубика разделена на четыре квадрата, и каждый квадрат окрашен в один из трех цветов: синий, желтый или красный — так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько при этом может получиться синих, желтых и красных квадратов?
Решение:
В каждой вершине кубика сойдутся три разноцветных квадрата. Так как всего имеется 24 квадрата, а вершин у кубика 8, то получится ровно по 8 квадратов каждого из трех цветов.
Двенадцать собеседников совещались за круглым сто¬лом. После перерыва они вновь сели за этот стол, но в другом порядке. Докажите, что найдутся такие два собеседника, что между ними (считая от первого ко второму по часовой стрелке) во второй раз окажется столько же собеседников, сколько и в первый.
Решение:
Предположим, что все попарные «рассто¬яния» между собеседниками изменились. Пусть собе¬седники поднялись со своих мест и пошли по часовой стрелке к своим новым местам. Тогда общий путь, прой¬денный ими, равен целому числу полных обходов вокруг стола (докажите это!). С другой стороны, по предполо¬жению все собеседники прошли разные расстояния, что возможно лишь в случае, если один из них остался на месте, второй прошел 1/12 полного обхода, третий — 2/12 полного обхода и т. д., последний прошел 11/12 полного обхода. Сумма этих путей равна 66/12, или 5,5 полного обхода, что противоречит тому, что вместе они сделали целое число полных обходов.
На столе нарисован ряд из 20 секторов (клеток). В каждом секторе лежит по фишке. Андрей и Борис играют в следующую игру. За один ход можно взять либо одну фишку, либо две фишки из двух соседних секторов. Начинает Андрей, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?
Решение:
Подсказка 1
Так, игроки могут взять одну или две соседних фишки…А можно ли сделать так, чтобы между этими ходами не было разницы (то есть, чтобы для нас они были одинаковы)?
Подсказка 2
Да, если любой ход можно будет симметрично отразить, то можно считать их одинаковыми. А в каком случае можно отразить любой из ходов игрока?
Подсказка 3
Верно, если игрок делает ход в одной половине доски, то мы его отражаем в другой! Тогда, если первый игрок первым ходом возьмет две центральных фишки, тогда любой последующий ход второго игрок он сможет отразить в другом получившемся отрезке!
Приведем стратегию за Андрея, позволяющую ему победить. Первым ходом возьмем две центральных фишки, оставив два отдельных ряда из 9 фишек каждый.
Дальше будем повторять ходы Бориса симметрично, то есть брать столько же фишек и с тех же мест, откуда только что взял фишки Борис, но из другого ряда.
Пусть до какого-то момента Андрей мог ходить симметрично. Тогда после его хода картинка симметрична относительно центра. Затем Борис взял одну или две соседних фишки. До хода Бориса две части были симметричны. Значит, Андрей может взять фишки из симметричных секторов другого ряда.
Итак, мы доказали, что Андрей всегда может сходить. Значит, он не проиграет. Между тем игра точно закончится не позже, чем через 20 ходов. Значит, кто-то все-таки проиграет. Это точно не Андрей, значит, проиграет Борис.
Ответ: Андрей.
Тринадцать различных натуральных чисел дают в сумме 92. Найдите эти числа.
Решение:
Все натуральные числа от 1 до 13 включи¬тельно дают в сумме 91. Если в этом наборе чисел 13 заменить на 14, то получим требуемый набор. Всякий другой набор 13 различных натуральных чисел будет об¬ладать суммой, большей 92.
Из набора гирек с массами 1 г, 2 г, 3 г,..., 101 г удалили гирьку с массой 19 г. Можно ли остальные гирьки разло¬жить по 50 штук на каждую из чашек весов так, чтобы весы были в равновесии?
Решение:
Разобьем гирьки на пары: 18 пар гирек 1-го типа: 1 г + 37 г, 2 г + 36 г, ..., 18 г + 20 г (сумма масс в каждой такой паре равна 38) и 32 пары гирек 2-го типа: 38 г + 101 г, 39 г + 100 г, ..., 69 г + 70 г (сумма масс гирек в каждой такой паре будет 139 г). На каждую чашку весов положим по 9 пар гирек 1-го типа и по 16 пар гирек 2-го типа — весы будут в равновесии.
Ответ: можно.
На острове живут лжецы и правдецы. Лжецы говорят только ложь, а правдецы — только правду. Некоторые жители заявили, что на острове нечетное число лжецов, а остальные заявили, что на острове четное число правдецов. Может ли число жителей острова быть нечетным?
Решение:
Оба заявления не могут быть правдой, так как среди заявлявших были лжецы. Но оба заявления не могут быть и ложью, так как среди заявлявших были правдецы. Значит, одно заявление является ложным, а другое правдивым. Это означает, что либо на острове четное число лжецов и четное число правдецов, либо нечетное число лжецов и нечетное число правдецов. В обоих случаях число жителей острова четно.
Ответ: не может.
Три трехзначных числа, в записи которых участвуют все цифры, кроме нуля, дают в сумме 1665. В каждом числе первую цифру поменяли местами с последней и получили три новых трехзначных числа. Чему равна сумма новых чисел?
Решение:
Сумма последних цифр трех исходных чисел равна 5, 15 или 25. Но 5 и 25 исключаются, так как они не представимы в виде суммы трех различных цифр (от 1 до 9), значит, остается 15. Следовательно, и сумма сред¬них цифр, и сумма первых цифр также равны 15. Теперь ясно, что, сделав перестановку цифр, мы снова получим три числа, сумма которых равна 1665.
Напоследок предъявим тройку чисел (одну из возможных), удовлетворяющую условиям задачи: 159, 672, 834.
Ответ: искомая сумма равна 1665.
Сто гирек поставлены в ряд. Известно, что массы лю¬бых двух соседних гирек отличаются на 1 г. Докажите, что гирьки можно разложить на две чашки весов по 50 штук на каждую гак, что весы будут в равновесии.
Решение:
Разобьем гирьки на 50 пар так, что в каждой паре будут соседние гирьки. Возьмем 25 пар (любых), для каждой из них гирьку меньшей массы положим на левую чашку весов, а гирьку большей массы — на пра¬вую. Для остальных 25 пар поступим наоборот: гирьки меньшей массы из каждой пары положим на правую чашку весов, а большей — на левую. После этого весы будут в равновесии.
101 гирька расположена по окружности. Масса каждой из гирек — натуральное число, а их общая масса рав¬на 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
Решение:
Отметим на окружности 300 точек, разбивающих ее на 300 равных частей, и каждой гирьке массой m поставим в соответствие дугу из m таких частей. Концы этих дуг (расположенных по окружности в том же порядке, что и гирьки) назовем красными точками, остальные 300 — 101 = 199 точек — черными. Рассмотрим все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, у которых одна из вершин красная. Если бы у каждого из них две другие вершины оказались черными, то всего черных точек было бы не менее 2 × 101 = 202. Поэтому найдется равносторонний треугольник, у которого две вершины красные. Большая дуга с концами в этих крас¬ных вершинах соответствует гирькам, в сумме имеющим массу 200 г, меньшая — гирькам, имеющим массу 100 г.
Набор состоит из гирек с целочисленными массами. Известно, что если из набора убрать любую из гирек, то оставшиеся гирьки можно разложить по двум чашкам весов так, что весы будут в равновесии. Докажите, что в наборе нечетное число гирек.
Решение:
Рассмотрим К натуральных чисел, выражающих массы К гирек нашего набора. Если любое из этих чисел убрать, то в силу условия задачи сумма остальных будет четным числом. Значит, все К чисел имеют одинаковую четность. Если все они нечетны, то число К нечетно, так как сумма чисел без любого одного из них четна. Во втором случае, когда все К чисел четны, сократим их на наибольшую возможную степень двойки и, повторив предыдущие рассуждения для полученного нового набора чисел, убедимся, что опять К — нечетное число.
В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причем на разных горизонталях—разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить восемь фигур так, чтобы на каждой горизонтали и каждой вертикали стояла ровно одна отмеченная фигура.
Решение:
Из условия следует, что на некоторой го¬ризонтали стоит ровно одна фигура, на некоторой другой — ровно две фигуры и т. д., наконец, некоторая горизонталь заполнена 8 фигурами. Пронумеруем горизонтали в соответствии с количеством стоящих на них фигур. Отметим на первой горизонтали ее единственную фигуру. Поскольку на второй горизонтали стоят две фигуры, хотя бы одну из них можно отметить. Так как на третьей горизонтали стоят три фигуры, то хотя бы одну из них можно отметить, и т. д. до восьмой отмеченной фигуры.
Шахматный король обошел шахматную доску, побывав на каждом поле по одному разу и вернувшись последним ходом на исходное поле. Докажите, что король сделал четное число диагональных ходов.
Решение:
Диагональным ходом король переходит с поля какого-нибудь цвета на поле того же цвета. Пусть из 32 ходов, когда король ступал на черное поле, k ходов были диагональными, т. е. король к раз ходил с черного поля на черное. Значит, (32-k) раз король ходил с белого поля на черное. Но так как король ходил с белого поля ровно 32 раза, то из них он ходил ровно k раз с белого поля на белое. Итак, король ходил с поля на поле того же цвета 2×k раз.
На шахматной доске размером 11x11 белых клеток на одну больше, чем черных. На черных клетках стоят 11 ладей. Докажите, что среди них есть две ладьи, которые бьют друг друга.
Решение:
Допустим на минуту, что никакие из 11 ладей не бьют друг друга. Тогда в каждом вертикальном ря¬ду клеток и в каждом горизонтальном ряду клеток стоит по одной ладье. Значит, в вертикальных рядах с нечетными номерами стоит ровно шесть ладей. Но в таком случае эти шесть ладей стоят в пяти горизонтальных рядах с четными номерами. Следовательно, в одном из этих пяти горизонтальных рядов найдутся две ладьи, которые и бьют друг друга.
Егор и Макс играют с монетками в занятную игру.
Каждый мальчик берет монетку, лист бумаги и карандаш и уходит в отдельную комнату. Там он бросает монетку и записывает, что выпало: орел или решка.
Затем Егор пытается угадать, что выпало на монетке Макса, а Макс – что выпало на монетке Егора.
Если хотя бы один из них угадывает, мальчики выигрывают. Если же они оба ошибаются, то проигрывают.
Как им нужно действовать, чтобы всегда выигрывать? Лгать в этой игре нельзя.
Решение:
Записав свой результат, Егор должен записать тот же результат, что выпал у него, а Макс – противоположный тому, что выпал у него.
Даны 10 куч, по 9 камней в каждой куче. Андрей и Борис по очереди делают ходы, начинает Андрей. Андрей в свой ход берет из какой-нибудь кучи 1, 2 или 3 камня. А Борис в свой ход берет по 1 камню из одной, двух или трех куч. Тот, кто не может сделать ход, проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Расположим камни в клетки таблицы 10 на 10 так, что главная диагональ была пустой (столбцы будут кучами). Андрей должен брать несколько камней из одного столбца, а Борис — из разных. Тогда заметим, что если Борис будет делать ходы симметричные ходам Андрея относительно пустой главной диагонали, то условие будет выполняться. Поэтому у Бориса всегда есть ход. Так как игра конечна, то когда-то Андрей проиграет.
Ответ: Борис
Андрей и Борис по очереди красят клетки белой доски 7×7 в черный цвет. Начинает Андрей. За один ход можно покрасить в черный цвет любую белую клетку, не находящуюся в одной строке или в одном столбце с покрашенной на предыдущем шаге клеткой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Давайте разобьём клетки на пары следующим образом. Каждой клетке не из главной диагонали поместим в пару клетку, симметричную ей относительно главной диагонали. Клетке на главной диагонали, отличной от центральной, поставим в соответствие клетку из главной диагонали, симметричную ей относительно центральной. Центральная клетка останется без пары.
Теперь приведём стратегию за Андрея. Пусть первым ходом он покрасит центральную, а дальше на каждый ход второго будет отвечать ходом в парную клетку. Нетрудно заметить, что клетки в парах находятся в разных столбцах и строках, а значит, Андрей всегда сможет сделать ход.
Ответ: Андрей.
Клетчатая доска 9×9 вся заполнена фишками. Андрей и Борис играют в следующую игру: за один ход можно выбрать горизонталь или вертикаль, на которой ещё остались фишки, и снять оттуда все оставшиеся фишки. Выигрывает игрок, после хода которого доска опустеет. Первым ходит Андрей. Кто выиграет при правильной игре?
Решение:
Заметим, что строки и столбцы можно переставлять, не влияя на ход игры. Значит, можно считать, что каждый раз убирается крайняя строка или крайний столбец, а оставшиеся фишки образуют прямоугольник.
Борис будет действовать так: если Андрей убирает строку, Борис убирает столбец, и наоборот. Таким образом, оставшиеся фишки всегда будут образовывать квадрат. Так будет продолжаться, пока оставшиеся фишки не образуют квадрат 2×2. После этого Андрей убирает две фишки, а Борис — две оставшиеся.
Ответ: Борис.
Круглое поле разделено на 20 секторов. В каждом секторе лежит по фишке. Андрей и Борис играют в следующую игру. За один ход можно взять либо одну фишку, либо две фишки из двух соседних секторов. Начинает Андрей, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?
Решение:
Приведем стратегию за Бориса, позволяющую ему победить. Будем повторять ходы Андрея симметрично относительно центра круглого поля. Покажем, что у Андрея всегда есть ход согласно этой стратегии.
Пусть до какого-то момента Борис мог ходить симметрично. Тогда после его хода картинка симметрична относительно центра. Затем Андрей взял одну или две соседних фишки. До хода Андрея в симметричных секторах также были фишки. Заметим, что никакой сектор не симметричен сам себе и не симметричен соседнему сектору. Значит, после хода Андрея в симметричных секторах по-прежнему лежат фишки. Поэтому Борис может сделать симметричный ход.
Итак, мы доказали, что Борис всегда может сходить. Значит, он не проиграет. Между тем игра точно закончится не позже, чем через 20 ходов. Значит, кто-то все-таки проиграет. Это точно не Борис, значит, проиграет Андрей.
Ответ: Борис.