Отчет по теме: Головоломки, связанные с перемещением игрального кубика
Дата: 2025-02-06
Содержание
- Введение
- Математические основы головоломок с игральными кубиками
- 2.1. Игральный кубик и его свойства
- 2.2. Теория групп и ее применение к игральному кубику
- 2.3. Группа вращений куба
- Алгоритмы решения головоломок типа кубика Рубика
- 3.1. Общие принципы и подходы
- 3.2. Алгоритм Бога
- 3.3. Послойный метод
- 3.4. Секретные методы
- 3.5. Алгоритм Тислтуэйта (Thistlethwaite's algorithm)
- 3.6. Алгоритм Коцембы (Kociemba's Algorithm)
- 3.7. Оптимальные решения и метрики поворотов
- Применение игрального кубика в математических задачах и играх
- 4.1. Развитие математических навыков
- 4.2. Исторические примеры головоломок
- 4.3. Головоломки на логику и пространственное мышление
- 3D-моделирование и новые конфигурации игральных костей
- Заключение (будет в следующей части)
1. Введение
Головоломки, связанные с перемещением игрального кубика, представляют собой широкий класс задач, охватывающих как классические механические головоломки, такие как кубик Рубика, так и разнообразные математические задачи и игры, использующие игральные кости. Данный отчет ставит своей целью всестороннее исследование данной темы, включая математические основы, алгоритмы решения, исторические аспекты и практическое применение. В отчете рассматриваются различные типы головоломок, от простейших задач на перемещение одной кости до сложных алгоритмов сборки кубика Рубика и его аналогов.
2. Математические основы головоломок с игральными кубиками
2.1. Игральный кубик и его свойства
Стандартный игральный кубик (кость) представляет собой куб с шестью гранями, на каждой из которых нанесено число очков от 1 до 6. Сумма очков на противоположных гранях стандартного кубика обычно равна 7. Это свойство часто используется в головоломках. Игральные кости используются как генераторы случайных чисел в различных играх и могут служить основой для математических задач и головоломок.
2.2. Теория групп и ее применение к игральному кубику
Теория групп – раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Основоположником теории групп считается Эварист Галуа. Группа является центральным понятием в общей алгебре. В контексте головоломок с кубиками, теория групп предоставляет мощный математический аппарат для описания симметрий и преобразований.
Группа, применительно к кубику Рубика и другим подобным головоломкам, описывает все возможные перестановки элементов (граней, углов, ребер) кубика, которые могут быть достигнуты с помощью допустимых операций (вращений граней). Каждый элемент группы соответствует определенной последовательности вращений.
Группа обладает следующими свойствами (на примере кубика Рубика):
- Замкнутость (Closure): Если P1 и P2 – две перестановки (последовательности вращений) в группе, то P1P2 (последовательное выполнение P1, а затем P2) также является перестановкой в той же группе.
- Ассоциативность (Associativity): Выполнение P1, а затем P2P3, эквивалентно выполнению P1P2, а затем P3.
- Тождественный элемент (Identity): Существует перестановка, при которой все элементы остаются на своих местах (решенное состояние кубика).
- Обратный элемент (Inverse): Для каждой перестановки P существует обратная перестановка P⁻¹, которая возвращает кубик в исходное состояние.
Кубик Рубика обладает огромным количеством возможных состояний. Если игнорировать ориентацию центральных квадратов, то число возможных конфигураций составляет приблизительно 4.3 x 10^19. Если же учитывать ориентацию центральных квадратов, это число увеличивается в 2048 раз.
Группа кубика Рубика G является подгруппой симметрической группы S48. Ее порядок (количество элементов) равен 43 252 003 274 489 856 000, что можно представить как 2^27 * 3^14 * 5^3 * 7^2 * 11. Наибольший порядок элемента в группе G равен 1260 (пример: (RU^2D^-1BD^-1)). Группа неабелева, то есть порядок выполнения операций имеет значение (FR не то же самое, что RF). Центр группы G состоит только из двух элементов: тождественного преобразования и "суперфлипа".
2.3. Группа вращений куба
Куб, как геометрическая фигура, обладает симметрией, то есть существуют вращения, при которых куб совмещается сам с собой. Эти вращения образуют группу, называемую группой вращений куба.
Группа вращений куба (обозначаемая O) содержит 24 элемента и изоморфна симметрической группе S4 (группе перестановок четырех элементов). Это означает, что каждому вращению куба можно сопоставить определенную перестановку его четырех диагоналей.
Вращения куба включают:
- Тождественное преобразование: Куб остается неподвижным (1 элемент).
- Вращения вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней (оси симметрии четвертого порядка):
- Повороты на 90° и 270° (6 элементов).
- Повороты на 180° (3 элемента).
- Вращения вокруг диагоналей куба (осей симметрии третьего порядка): Повороты на 120° и 240° (8 элементов).
- Вращения вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (осей симметрии второго порядка): Повороты на 180° (6 элементов).
Группа вращений куба имеет пять классов сопряженных элементов:
- Тождественное преобразование.
- Повороты вокруг осей четвертого порядка на углы ±90°.
- Повороты вокруг осей четвертого порядка на угол 180°.
- Повороты вокруг диагоналей на углы ±120°.
- Повороты вокруг осей второго порядка на угол 180°.
Группа вращений куба имеет два одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления. Группа симметрии тетраэдра изоморфна группе вращений куба, и их таблицы характеров идентичны. Четные подстановки в группе образуют нормальную подгруппу порядка 12. В эту нормальную подгруппу входят элементы, образующие классы из восьми и трех элементов (повороты вокруг диагоналей на углы ±120° и повороты вокруг осей четвертого порядка на угол 180°).
3. Алгоритмы решения головоломок типа кубика Рубика
3.1. Общие принципы и подходы
Алгоритмы решения кубика Рубика представляют собой последовательности вращений граней, приводящие кубик из любого запутанного состояния в решенное. Эти алгоритмы основаны на принципах теории групп и комбинаторики. Существует множество различных алгоритмов, отличающихся сложностью, количеством шагов и подходами к решению.
Для обозначения вращений граней кубика Рубика используется стандартная нотация Сингмастера (David Singmaster):
- L - Левая грань (Left)
- R - Правая грань (Right)
- U - Верхняя грань (Up)
- F - Передняя грань (Front)
- D - Нижняя грань (Down)
- B - Задняя грань (Back)
- ' (апостроф) - обозначает поворот грани против часовой стрелки (если смотреть на эту грань).
- 2 - обозначает поворот грани на 180 градусов.
3.2. Алгоритм Бога
Алгоритм Бога – это гипотетический алгоритм, который решает кубик Рубика из любого начального состояния за минимально возможное количество ходов. Число Бога – это максимальное количество ходов, необходимое для решения кубика Рубика с помощью алгоритма Бога. Для стандартного кубика Рубика 3x3x3 число Бога равно 20 (в метрике FTM/HTM, см. ниже). Это означает, что любое состояние кубика Рубика можно решить не более чем за 20 ходов.
3.3. Послойный метод
Послойный метод – один из самых распространенных и простых для понимания методов решения кубика Рубика. Он заключается в последовательной сборке кубика по слоям: сначала собирается первый слой, затем второй, и, наконец, третий. Этот метод включает в себя несколько этапов, каждый из которых использует определенные алгоритмы для перемещения и ориентации кубиков.
3.4. Секретные методы
Существуют и так называемые "секретные методы" решения кубика Рубика, которые, как правило, отличаются большей сложностью и требуют более глубокого понимания структуры кубика. К ним относятся:
- Метод слепой сборки (Blind Cube Method): Кубик собирается с закрытыми глазами, основываясь на запомненных алгоритмах и тактильных ощущениях.
- Блочный метод (Block Method): Кубик рассматривается как совокупность блоков, и решение заключается в правильном расположении и ориентации этих блоков.
3.5. Алгоритм Тислтуэйта (Thistlethwaite's algorithm)
Алгоритм Тислтуэйта, разработанный доктором Морвеном Тислтуэйтом (Morwen Thistlethwaite) в 1981 году, был одним из первых алгоритмов, гарантирующих решение кубика Рубика за относительно небольшое количество ходов. Первоначально алгоритм Тислтуэйта гарантировал решение не более чем за 52 хода. Алгоритм основан на идее последовательного ограничения возможных движений, разбивая задачу на подзадачи. Он использует "спуск через вложенные подгруппы". Дуглас Хофштадтер (Douglas Hofstadter) опубликовал подробности алгоритма Тислтуэйта в журнале Scientific American в 1981 году.
3.6. Алгоритм Коцембы (Kociemba's Algorithm)
Алгоритм Коцембы, разработанный Гербертом Коцембой (Herbert Kociemba) в 1992 году, является улучшением алгоритма Тислтуэйта. Он представляет собой двухфазный алгоритм, который позволяет находить достаточно короткие (но не обязательно оптимальные) решения. Случайно перемешанный кубик обычно можно решить менее чем за 20 ходов с помощью алгоритма Коцембы. Коцемба также разработал программу Cube Explorer. Для "картинных" кубиков Коцемба доказал, что любой такой кубик можно решить не более чем за 21 ход.
3.7. Оптимальные решения и метрики поворотов
Оптимальным решением кубика Рубика называется решение, использующее минимально возможное количество ходов. Длина решения может измеряться в разных метриках:
- Quarter Turn Metric (QTM): Каждый поворот грани на 90 градусов (по часовой стрелке или против) считается за один ход.
- Face Turn Metric (FTM) или Half Turn Metric (HTM): Каждый поворот внешней грани на 90 или 180 градусов считается за один ход.
Максимальное количество ходов, необходимое для решения любого состояния кубика Рубика, составляет 20 в метрике FTM/HTM и 26 в метрике QTM. Случайно перемешанный кубик Рубика, скорее всего, можно решить за 18 ходов (примерно в 67.0% случаев) в метрике HTM.
4. Применение игрального кубика в математических задачах и играх
4.1. Развитие математических навыков
Игральные кубики используются в качестве инструмента для развития математических навыков, особенно у детей. Существуют математические игры, основанные на бросании кубиков и выполнении определенных действий в зависимости от выпавших чисел. Эти игры помогают развивать логическое мышление, навыки счета и комбинаторику. Принцип игр заключается в бросании кубиков и выполнении определенных действий на основе выпавших чисел, например, заполнении таблицы.
4.2. Исторические примеры головоломок
Головоломки с игральными кубиками имеют давнюю историю и являются частью занимательной математики. Среди известных составителей головоломок, использовавших игральные кости, можно выделить:
- Генри Э. Дьюдени (Henry Ernest Dudeney): Английский математик и автор головоломок, внесший значительный вклад в развитие занимательной математики.
- Анджело Льюис (Angelo Lewis): Псевдоним профессора Хоффмана (Professor Hoffman), автора книг по головоломкам и фокусам.
- Стивен Барр (Stephen Barr): Американский математик, известный своими работами в области моделирования сложных поверхностей.
- Сэм Лойд (Sam Loyd): Американский шахматист, составитель головоломок и автор книг по занимательной математике.
Эти авторы создавали головоломки, требующие догадливости, сообразительности и пространственного мышления.
4.3. Головоломки на логику и пространственное мышление
Примеры головоломок с использованием игральных костей:
-
"Сложить кости в куб": Восемь игральных костей необходимо сложить в большой куб. Задача – определить количество различных способов сложения, учитывая возможность поворота каждого кубика. Решение: каждый кубик имеет 24 возможных положения (6 граней * 4 поворота). Общее количество вариантов: 24^8 = 110 075 314 176.
-
"Почти кубик Рубика": Девять кубиков с разными цветами на гранях складываются в призму 3x3x1. Задача – повернуть кубики так, чтобы верхняя грань всех кубиков была одного цвета. Поворачивать можно только по три кубика вместе в горизонтальном или вертикальном ряду.
-
"Лабиринт из игральных костей": Лабиринт, состоящий из игральных костей. Передвигаться можно только между кубиками, у которых совпадают количества точек на соприкасающихся гранях. Задача – найти путь от центрального кубика.
5. 3D-моделирование и новые конфигурации игральных костей
Развитие технологий 3D-моделирования открывает новые возможности для создания и изучения головоломок, связанных с игральными кубиками. Существуют онлайн-ресурсы, предоставляющие бесплатные 3D-модели игральных костей в различных форматах (Blender (.Blend), 3ds Max (.Max), Obj, Sketchup (Skp), Cinema 4D (.C4d), Maya (.Ma, .Mb), Fbx, Stl и др.). Эти модели могут быть использованы для визуализации головоломок, разработки новых игр и задач, а также для 3D-печати. Модели представлены в различных вариантах: с высокой детализацией, lowpoly, rigged (с "костями" для анимации), анимированные и предназначенные для печати.
Более того, продолжаются исследования и разработки новых конфигураций игральных костей. В начале 2020 года Виктор Чебыкин определил конфигурации и построил 3D-модели двух новых игральных костей (генераторов случайных чисел), что демонстрирует неослабевающий интерес к этой теме.
6. Математические головоломки, использующие числа и логику (без явного упоминания кубиков)
Многие математические головоломки и логические задачи, не использующие непосредственно игральные кубики, тем не менее, основаны на принципах, применимых и к головоломкам с кубиками. Это задачи на поиск закономерностей, вычисления, логические рассуждения и пространственное мышление. Примеры таких задач:
- "Числовой куб": Задачи, в которых требуется определить пропущенное число в числовой последовательности, расположенной, например, на гранях воображаемого куба.
- "Код сейфа": Задачи на определение числового кода, основанного на закономерностях в представленных числах.
- "Мишень": Задачи на определение координат, основанные на логических рассуждениях и анализе числовых данных.
Эти задачи, хотя и не связаны напрямую с физическими игральными кубиками, тренируют те же навыки, которые необходимы для решения головоломок с кубиками: логическое мышление, умение находить закономерности, пространственное воображение.
7. Дополнительные аспекты теории групп, применимые к головоломкам
Как уже упоминалось, теория групп играет ключевую роль в понимании математических основ головоломок, связанных с кубиками. Важно отметить, что группа кубика Рубика имеет подгруппы. Подгруппа – это подмножество элементов группы, которое само по себе является группой относительно той же операции. Подгруппы кубика Рубика соответствуют определенным наборам движений, которые сохраняют определенные свойства кубика (например, оставляют на месте определенные угловые или реберные элементы). Изучение подгрупп помогает в разработке алгоритмов решения, позволяя разбивать сложную задачу на более простые подзадачи.
8. Заключение
Головоломки, связанные с перемещением игрального кубика, представляют собой обширную и многогранную область, охватывающую как классические механические головоломки (кубик Рубика и его аналоги), так и разнообразные математические задачи и игры, использующие игральные кости или принципы, применимые к ним.
Математической основой этих головоломок является теория групп, предоставляющая аппарат для описания симметрий и преобразований кубика. Группа вращений куба и группа перестановок элементов кубика Рубика позволяют формализовать и анализировать возможные состояния и переходы между ними.
Существует множество алгоритмов решения кубика Рубика, от простых послойных методов до сложных алгоритмов, таких как алгоритм Тислтуэйта и алгоритм Коцембы. Алгоритм Бога представляет собой теоретический предел эффективности, а число Бога (20 для кубика Рубика 3x3x3 в метрике HTM) показывает минимально возможное количество ходов для решения из любого состояния.
Игральные кости используются не только в качестве элементов механических головоломок, но и как инструменты для развития математических навыков, а также в качестве основы для различных математических задач и игр. Исторический аспект головоломок с кубиками связан с именами таких выдающихся математиков и составителей головоломок, как Генри Э. Дьюдени, Сэм Лойд, Анджело Льюис и Стивен Барр.
Современные технологии, такие как 3D-моделирование, открывают новые возможности для создания и изучения головоломок, а исследования в области теории групп и комбинаторики продолжают углублять наше понимание этих увлекательных задач. Разработка новых конфигураций игральных костей также демонстрирует непрекращающийся интерес к этой области.
В целом, головоломки, связанные с перемещением игрального кубика, представляют собой богатую область для исследований и практического применения, сочетающую в себе математическую строгость, логическое мышление и творческий подход.
2025-02-06
Источники (99)
- лекции_2_курс_2_поток_осень_2018 | Кафедра высшей алгебры - http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php/лекции_2_курс_2_поток_осень_2018
- Игральные кости [1986 Гарден М. - Математические чудеса и тайны] - http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000006/st010.shtml
- Курс МФТИ-НМУ. Введение в теорию групп - http://qft.itp.ac.ru/mbersht/Group_2019.html
- МЕТОДЫ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ - http://www.chair.lpi.ru/rus/lect/groupth.html
- Игры для мозга: 30 математических головоломок для проверки вашего ума ... - https://1gai.ru/publ/527341-igry-dlja-mozga-30-matematicheskih-golovolomok-dlja-proverki-vashego-uma-s-otvetami.html
- Optimal minimax strategy in a dice game - arXiv.org - https://arxiv.org/pdf/0912.5518
- A finite exact algorithm to solve a dice game - arXiv.org - https://arxiv.org/pdf/1405.7488
- Dabbling with Dice: Perplexing Puzzles and Challenges Using Dice - https://bigideas4littlescholars.com/dabbling-with-dice-perplexing-puzzles-and-challenges-using-dice/
- Лучшие файлы для 3D-принтеров ... - Cults 3D - https://cults3d.com/ru/tegi/игральные+кости
- Теория групп — Циклопедия - https://cyclowiki.org/wiki/Теория_групп
- Исследовательская работа «Кубик Рубика в математике» - https://eee-science.ru/item-work/2019-496/
- Кантование кубика • Николай Авилов • Научно-популярные задачи на ... - https://elementy.ru/problems/3014/Kantovanie_kubika
- Optimal solutions for the Rubik's Cube - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_solutions_for_the_Rubik's_Cube
- Rubik's Cube group - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik's_Cube_group
- Головоломка с игральными кубиками - проверьте, сможете ли решить за ... - https://gentleman.24tv.ua/ru/golovolomka-s-igralnymi-kubikami-proverte-smozhete-li-reshit-za-minutu-gentleman_n2672034
- Algorithm for a dice game · GitHub - https://gist.github.com/shastrihm/9c1956ef4bbb7ecb1e6a7e785cfc27b8
- GitHub - DMells/DiceGame: Using value iteration algorithms to train an ... - https://github.com/DMells/DiceGame
- Reviewing algorithmic thinking by building a Dice Game. - https://github.com/Idelvalverde16/Dice-Game
- GitHub - hkociemba/RubiksCube-OptimalSolver: God's algorithm for Rubik ... - https://github.com/hkociemba/RubiksCube-OptimalSolver
- GitHub - milliegibbons/DiceGame: MDP and Bellman equation - https://github.com/milliegibbons/DiceGame
- Общая схема построения алгоритмов на примере кубика Рубика - https://habr.com/ru/articles/272803/
- Занимательная математика с цветными кубиками / Хабр - https://habr.com/ru/articles/336858/
- Исследовательская работа на тему "Математика в кубиках" - https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-na-temu-matematika-v-kubikah-1380154.html
- Игральные кости образца 2020 года? Да, всё правильно! - https://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=21015
- Математические игры с игральными кубиками: janemouse — LiveJournal - https://janemouse.livejournal.com/1655299.html
- Знаменитые математические головоломки с ответами и решением от ... - https://logiclike.com/math-logic/interesno-polezno/famous-math-puzzles
- Головоломки Интерактивный | Математические занятия - https://math-center.org/ru-RU/interactive/puzzles/
- Optimal Strategy in Dice Game - Mathematics Stack Exchange - https://math.stackexchange.com/questions/4002465/optimal-strategy-in-dice-game
- Игральные кости . Математические чудеса и тайны - https://math.wikireading.ru/h2RQmzl9vg
- Модель 4.5. Игральные кости - https://mathematics.ru/courses/algebra/content/models/dies.html
- Vvedenie v teoriju grupp - MCCME - https://mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/groups.htm
- A* Algorithm using 8 puzzle problem | by SAURAV - Medium - https://medium.com/@1032211306/a-algorithm-using-8-puzzle-problem-f19d36c451de
- How to Maximize Winning a Game of Dice | by Pascal Bercker - Medium - https://medium.com/@pbercker/how-to-maximize-winning-a-game-of-dice-f428a20efd23
- Математика кубика Рубика | Статья в журнале «Юный ученый» - https://moluch.ru/young/archive/57/3018/
- Игральные Кубики На Уроке (Pdf) — Мышематика От Жени Кац - https://mousemath.ru/product/игральные-кубики-на-уроке-pdf/
- Теория групп в физике элементарных частиц и атомного ядра - https://msu-dubna.ru/neutron/course/view.php?id=42
- Классические модели теории вероятностей, монета и игральная кость - https://multiurok.ru/files/klassicheskie-modeli-teorii-veroiatnostei-moneta-i.html
- Тема: Классические модели теории вероятности: монета и игральная кость - https://multiurok.ru/files/tema-klassicheskie-modeli-teorii-veroiatnosti-mone.html
- Задачи на вероятность с игральным кубиком (игральная кость) - https://multiurok.ru/files/zadachi-na-veroiatnost-s-igralnym-kubikom-igralnai.html
- Принцип: Перестановочные головоломки | МузееУм - https://museeum.ru/concepts/perestanovochnye-golovolomki
- игры с кубиками никитиных | Учебно-методическое пособие по математике ... - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2017/11/22/igry-s-kubikami-nikitinyh
- Математические игры, для которых нужны только кубики - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2022/08/01/matematicheskie-igry-dlya-kotoryh-nuzhny-tolko-kubiki
- 13 Лучших 3d-моделей Игральных Костей За 2022 Год - https://open3dmodel.com/ru/3d-models/collections/13-dice-latest-2022
- Игральные кости 3D-модели для бесплатного скачивания - Open3dModel - https://open3dmodel.com/ru/3d-models/dice
- Dice Problems Tricks And Shortcuts With Examples - https://programmerbay.com/dice-problems-tricks-and-shortcuts-with-examples/
- Исаев А.П. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры ... - https://prometeus.nsc.ru/acquisitions/17-03-21/cont04.ssi
- 10 математических игр с игральными кубиками | Клуб Увлечённых Мам - https://razvivash-ka.ru/10-razvivayushhih-igr-s-igralnymi-kubikami/
- Алгоритм решения кубика Рубика - https://ru.easiio.com/rubik-solution-algorithm/
- Алгоритм бога — Википедия - https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_бога
- Теория групп — Википедия - https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_групп
- Rubik's Cube Solution - https://rubiks-cube-solver.com/solution.php
- Online Rubik's Cube - Simulator, Solver, Timer and Tutorial - https://rubikscu.be/
- Herbert Kociemba's optimal Rubik's Cube solver - Cube Explorer - Ruwix - https://ruwix.com/the-rubiks-cube/herbert-kociemba-optimal-cube-solver-cube-explorer/
- § 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра - https://scask.ru/p_book_alin.php?id=108
- § 6. Группа вращений куба О - https://scask.ru/p_book_alin.php?id=85
- Изучаем математику, играя в кубики - https://school-science.ru/8/7/41216
- Примеры решения задачи о бросании игрального кубика. Теория вероятностей - https://self-edu.ru/book_tp.php?id=4
- An application of Group Theory to Rubiks Cube - SlideToDoc.com - https://slidetodoc.com/an-application-of-group-theory-to-rubiks-cube/
- Центр Решений Кубика Рубика - https://speedcubing.com.ua/interesting/dalee
- 68 Competitive Puzzling Tips and Tricks for Speed Puzzling - https://speedpuzzlingtips.com/competitive-puzzling-tips-tricks/
- Algorithm for a dice problem - Stack Overflow - https://stackoverflow.com/questions/2779747/algorithm-for-a-dice-problem
- Игральные кости - Лекции по теории вероятностей и математической статистике - https://studme.org/426267/matematika_himiya_fizik/igralnye_kosti
- Собираем кубик Рубика без полного перебора решений - https://tproger.ru/translations/solving-rubicks-cube
- Секретные методы решения кубика Рубика: сделай Россию на кубике на ... - https://treeofbonsai.ru/info/sekretnye-metody-reseniya-kubika-rubika-sdelai-rossiyu-na-kubike-na-svoei-golove/
- Занимательные задачи с кубиками - https://urok.1sept.ru/articles/586034
- Головоломки с игральными кубиками - https://urok.1sept.ru/articles/641875
- Головоломки с цветными кубиками - https://urok.1sept.ru/articles/651554
- Задачи с монетами и игральными кубиками - https://www.1urok.ru/categories/9/articles/71827
- Optimal Rubik's cube solver - cflmath.com - https://www.cflmath.com/Rubik/optimal_solver.html
- Алгоритм кубика Рубика - https://www.easiio.com/ru/rubics-cube-algorithm/
- Алгоритмы кубика Рубика - https://www.easiio.com/ru/rubix-cube-algorithms/
- Algorithm Puzzle: Ways to Achieve Dice Sum? - finalroundai.com - https://www.finalroundai.com/interview-questions/dice-sum-algorithm-puzzle
- How to play dice puzzle? - Games Learning Society - https://www.gameslearningsociety.org/how-to-play-dice-puzzle/
- How to solve dice puzzle? - Games Learning Society - https://www.gameslearningsociety.org/how-to-solve-dice-puzzle/
- 8 Puzzle Problem in AI - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/8-puzzle-problem-in-ai/
- Applications of Group Theory - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/applications-of-group-theory/
- Cubes and Dice Reasoning Questions: Practices, Tricks ... - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/cubes-and-dice/
- Dice Throw - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/dice-throw-dp-30/
- Dice - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/explanation-about-dice/
- Snake and Ladder Problem - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/snake-ladder-problem-2/
- The dice problem - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/the-dice-problem/
- Rubik's Cube Solver 3x3x3 - Grubiks - https://www.grubiks.com/solvers/rubiks-cube-3x3x3/
- Rubik's Mini Cube 2x2x2 Solver (Optimal) - Grubiks - https://www.grubiks.com/solvers/rubiks-mini-cube-2x2x2/
- Strategies and Tricks to Solve Dice Reasoning Questions - Hitbullseye - https://www.hitbullseye.com/DICE-Reasoning-Tricks.php
- Головоломки с игральными кубиками - https://www.infobraz.ru/library/mathematics/id18133
- A Finite Exact Algorithm to Solve a Dice Game - Jstor - https://www.jstor.org/stable/43860959
- The Optimal Solvers - Kociemba - https://www.kociemba.org/math/optimal.htm
- Использование игральных кубиков при формировании у детей дошкольного ... - https://www.maam.ru/detskijsad/ispolzovanie-igralnyh-kubikov-pri-formirovani-u-detei-doshkolnogo-vozrasta-yelementarnyh-matematicheskih-predstavlenii.html
- Математические игры с игральными кубиками для детей дошкольного возраста - https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/528979-matematicheskie-igry-s-igralnymi-kubikami-dlj
- (PDF) POA: Puzzle Optimization Algorithm - ResearchGate - https://www.researchgate.net/publication/358242159_POA_Puzzle_Optimization_Algorithm
- Introduction of Several Special Groups and Their Applications to Rubik ... - https://www.researchgate.net/publication/370694466_Introduction_of_Several_Special_Groups_and_Their_Applications_to_Rubik's_Cube
- The Official Rubik's Cube | Solution Guides - https://www.rubiks.com/solution-guides
- Group theory | Rubik's Cube - Ryan Heise - https://www.ryanheise.com/cube/group_theory.html
- Представления групп тетраэдра, куба и икосаэдра - https://www.sceptic-ratio.narod.ru/ma/dm2-2m.htm
- Rubik's cube: A toy, a galois tool, group theory for everybody - https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378437182903624
- Dice Reasoning Tricks: Solve Dice Problems Quickly and Easily - https://www.youtube.com/watch?v=0OnVhS6FMTE
- Dice puzzles | Dice Short Tricks | Reasoning | SSC CGL | CGL - YouTube - https://www.youtube.com/watch?v=eM-9Fy8-ExA
- How to solve the Dice Puzzle #1 - YouTube - https://www.youtube.com/watch?v=vTZJazHakos
- xplorer² blog: Pattern databases for solving 15-puzzle (AI) - https://www.zabkat.com/blog/15-puzzle-pattern-database.htm