Математические игры с фишками

Математические игры с фишками: Исчерпывающий обзор

Содержание

Введение
Разновидности игр с фишками
- Классическая вариация
- Вариация с фиксированным количеством фишек
- Вариация с динамическим количеством фишек
- Динамическая игра на вычитание (Stack Exchange)
- Весовые дуги Kayles (MathOverflow)
- Теорема Шпрага-Гранди (Алгоритмы конкурентного программирования)
- Ним (Википедия)
- Перемещение фишек (Википедия)
- Еще одна вариация игры Ним (Puzzling Stack Exchange)
- Игра Ним (GeeksforGeeks)
- Сложность решения игр на вычитание (arXiv)
- Динамическое программирование в теории игр (GeeksforGeeks)
Стратегии выигрыша
- Анализ паттернов и выигрышных позиций
- Стратегии для классической вариации
- Стратегии для вариации с фиксированным количеством фишек
- Стратегии для вариации с динамическим количеством фишек
- Стратегии для динамической игры на вычитание (Stack Exchange)
- Стратегии для весовых дуг Kayles (MathOverflow)
- Стратегии для игры Ним (Википедия)
- Стратегии для перемещения фишек (Википедия)
- Стратегии для другой вариации игры Ним (Puzzling Stack Exchange)
- Стратегии для игры Ним (GeeksforGeeks)
Психология игроков и их поведение в процессе игры
- Мотивация и вовлеченность
- Когнитивные процессы
- Эмоциональные реакции
- Социальные взаимодействия
- Стиль игры
- Принятие решений
- Взаимодействие с другими игроками
Примеры и приложения
Заключение
Рекомендации для будущих исследований
Список литературы

1. Введение

Математические игры с фишками – это не просто развлечение, но и ценный инструмент для развития когнитивных способностей, включая логическое мышление, стратегическое планирование, пространственное воображение и навыки решения задач. Изучение психологии игроков в процессе таких игр позволяет не только понять, как они принимают решения, но и разработать более эффективные методики обучения и тренировки.

2. Разновидности игр с фишками

Существует множество вариаций математических игр с фишками, каждая из которых имеет свои правила и стратегии выигрыша. Вот некоторые из них:

Классическая вариация: Два игрока по очереди убирают фишки из кучи. Каждый игрок может убрать любое количество фишек, но не более половины оставшихся в куче. Проигрывает тот, кто вынужден убрать последнюю фишку.
Вариация с фиксированным количеством фишек: Два игрока по очереди убирают фишки из кучи, но каждый игрок может убрать только фиксированное количество фишек (например, 1 или 2). Проигрывает тот, кто вынужден убрать последнюю фишку.
Вариация с динамическим количеством фишек: Количество фишек, которое игрок может убрать, зависит от количества фишек, убранных противником на предыдущем ходу.
Динамическая игра на вычитание (Stack Exchange): В этой игре первый игрок может убрать любое количество фишек, но не всю кучу. Последующие игроки могут убрать не больше фишек, чем убрал их противник на предыдущем ходу.
Весовые дуги Kayles (MathOverflow): В этой игре фишки располагаются на вершинах графа. Игроки по очереди убирают фишки, либо убирая две фишки с одной вершины, либо убирая по одной фишке с концов ребра.
Теорема Шпрага-Гранди (Алгоритмы конкурентного программирования): Эта теорема описывает беспристрастные игры для двух игроков с полной информацией и конечным количеством ходов. Эти игры можно представить как направленные ациклические графы, где вершины представляют состояния игры, а ребра – ходы.
Ним (Википедия): В игре Ним два игрока по очереди убирают предметы из нескольких куч. Каждый игрок должен убрать хотя бы один предмет за ход, но может убрать больше одного предмета, если они все из одной кучи. Проигрывает тот, кто уберет последний предмет (misère Nim).
Перемещение фишек (Википедия): В этой игре два игрока по очереди перемещают фишки на доске n x m. Каждый ход состоит в перемещении фишки в любую клетку слева или сверху от ее текущего положения.
Еще одна вариация игры Ним (Puzzling Stack Exchange): В этой игре два игрока по очереди убирают одну фишку из одной из куч и добавляют любое количество фишек (возможно, ни одной) в любую кучу, расположенную левее той, из которой была убрана фишка. Выигрывает тот, кто уберет последнюю фишку.
Игра Ним (GeeksforGeeks): В этой игре два игрока по очереди убирают предметы из нескольких куч. Каждый игрок должен убрать хотя бы один предмет за ход, но может убрать больше одного предмета, если они все из одной кучи. Проигрывает тот, кто уберет последний предмет (misère Nim).
Сложность решения игр на вычитание (arXiv): В этой статье авторы из arXiv исследуют сложность решения игр на вычитание, где игроки по очереди убирают фишки из кучи по определенным правилам.
Динамическое программирование в теории игр (GeeksforGeeks): В этой статье на GeeksforGeeks рассматривается применение динамического программирования в теории игр для решения сложных стратегических задач в конкурентном программировании.

3. Стратегии выигрыша

Ключ к победе в математических играх с фишками – это понимание паттернов, которые возникают, и идентификация проигрышных позиций. Вот некоторые стратегии для разных вариаций:

Классическая вариация:
- Выигрышные позиции: Игрок, который может заставить противника столкнуться с кучей, количество фишек в которой является степенью двойки (например, 1, 2, 4, 8, 16), гарантированно победит.
- Выигрышная стратегия: Первый игрок всегда может победить, стратегически сокращая кучу до степени двойки. Это предполагает вычитание такого количества фишек, чтобы у противника осталась степень двойки. Например, если начальная куча содержит 2024 фишки, первый игрок должен убрать 1012 фишек, оставив 1012 фишек. Противник тогда вынужден оставить количество фишек, не являющееся степенью двойки, что позволяет первому игроку повторить стратегию и в конечном итоге заставить противника убрать последнюю фишку.
Вариация с фиксированным количеством фишек:
- Выигрышные позиции: Выигрышные позиции определяются операцией по модулю относительно максимального количества фишек, которое можно убрать, плюс 1. Например, если игроки могут убрать 1 или 2 фишки, проигрышные позиции – это числа, сравнимые с 1 по модулю 3 (т.е. 1, 4, 7, 10...).
- Выигрышная стратегия: Игрок, который может заставить противника столкнуться с проигрышной позицией, гарантированно победит. Это предполагает стратегическое убирание фишек, чтобы гарантировать, что противник всегда останется с количеством фишек, составляющим проигрышную позицию. Например, если начальная куча содержит 12 фишек, первый игрок должен убрать 2 фишки, оставив 10 фишек. Противник тогда вынужден оставить 8, 5 или 2 фишки, все из которых являются проигрышными позициями. Первый игрок может продолжить этот паттерн и выиграть игру.
Вариация с динамическим количеством фишек:
- Выигрышные позиции: Выигрышные позиции зависят от конкретной функции, определяющей количество фишек, которое можно убрать. Анализ предполагает идентификацию проигрышных позиций и движение назад, чтобы определить выигрышные позиции.
- Выигрышная стратегия: Игрок, который может заставить противника столкнуться с проигрышной позицией, победит. Стратегия предполагает стратегическое убирание фишек, основываясь на функции и предыдущих ходах противника, с целью оставить противника с проигрышной позицией.
Динамическая игра на вычитание (Stack Exchange):
- Выигрышная стратегия: Игрок, который может заставить противника столкнуться с кучей размером 1, проигрывает. Стратегия предполагает поиск проигрышных позиций и движение назад. Это можно сделать с помощью динамического программирования, где каждое состояние игры представлено парой (n, B), где n – количество фишек, а B – верхняя граница количества фишек, которое можно убрать.
Весовые дуги Kayles (MathOverflow):
- Выигрышные позиции: Выигрышные позиции зависят от четности количества фишек и структуры графа. Игра тривиальна на полных графах. Для некоторых графов, например, графа пути P3 (граф Дынкина типа A3), выигрышные позиции можно определить, анализируя четность фишек на каждой вершине и сравнивая их с "укрупненными" неравенствами вдоль ребер.
Теорема Шпрага-Гранди (Алгоритмы конкурентного программирования):
- Выигрышная стратегия: Теорема утверждает, что любую беспристрастную игру для двух игроков можно свести к игре Ним. Выигрышная стратегия в Ним – это обеспечение того, чтобы XOR-сумма размеров куч была ненулевой.
Ним (Википедия):
- Выигрышная стратегия: Выигрышная стратегия основана на nim-сумме, которая представляет собой побитовое XOR (исключающее ИЛИ) размеров куч. Игрок, который может заставить nim-сумму быть нулевой после своего хода, победит. Это связано с тем, что если nim-сумма равна нулю, противник вынужден оставить ненулевую nim-сумму, что позволяет выигрывающему игроку повторить стратегию и в конечном итоге выиграть игру.
Перемещение фишек (Википедия):
- Выигрышная стратегия: Эта игра является вариацией игры Ним, и выигрышная стратегия предполагает понимание связи между позициями фишек и nim-суммой. Игрок, который может заставить nim-сумму быть нулевой после своего хода, победит.
Еще одна вариация игры Ним (Puzzling Stack Exchange):
- Выигрышная стратегия: Игра всегда заканчивается за конечное число ходов. Выигрышная стратегия предполагает понимание того, что игру можно свести к более простой игре типа Ним, рассматривая общее количество фишек в каждой куче и ее положение. Игрок, который может заставить nim-сумму куч быть нулевой после своего хода, победит.
Игра Ним (GeeksforGeeks):
- Выигрышная стратегия: Выигрышная стратегия предполагает понимание концепции Nim-Sum. Nim-Sum – это кумулятивное значение XOR количества монет/камней в каждой куче/стопке в любой момент игры. Если Nim-Sum в начале игры не равен нулю, игрок, начинающий первым, гарантированно победит, если будет играть оптимально. В противном случае, если Nim-Sum равен нулю, то игрок, начинающий первым, проиграет.

4. Психология игроков и их поведение в процессе игры

Изучение психологии игроков в математических играх с фишками позволяет понять, как они принимают решения и как их поведение влияет на результат игры. Вот некоторые ключевые психологические аспекты:

Мотивация и вовлеченность:
- Внутренняя мотивация: Игроки, мотивированные удовольствием от процесса игры, более склонны к риску, экспериментированию и поиску новых стратегий.
- Внешняя мотивация: Игроки, мотивированные наградами (например, фишками, очками), могут быть более сосредоточены на достижении краткосрочной цели, игнорируя долгосрочные стратегии.
Когнитивные процессы:
- Логическое мышление: Игроки должны анализировать правила игры, прогнозировать последствия своих действий и принимать рациональные решения.
- Стратегическое планирование: Игроки должны разрабатывать долгосрочные планы, учитывая действия других игроков и возможные изменения ситуации.
- Пространственное воображение: Игры с фишками часто требуют от игроков визуализировать и манипулировать объектами в пространстве. Например, игры, где нужно строить башни из кубиков, или игры, где нужно перемещать фишки по игровому полю, требуют от игроков развитого пространственного воображения.
- Развитие логического мышления: Исследовательница Юлия Базанова в своей статье "Математические игры как средство развития логического мышления у детей старшего дошкольного возраста" (опубликовано в журнале "Молодой ученый" в 2023 году) утверждает, что математические игры способствуют развитию логического мышления у детей старшего дошкольного возраста. Она подчеркивает, что игры моделируют математические отношения и закономерности, требуя от детей выполнения логических операций, таких как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и классификация.
Эмоциональные реакции:
- Стресс и давление: Сложные игры могут вызывать стресс и давление, что может влиять на принятие решений.
- Радость и удовлетворение: Успех в игре приносит радость и удовлетворение, повышая мотивацию к дальнейшей игре.
Социальные взаимодействия:
- Кооперация: В некоторых играх игроки должны сотрудничать, чтобы достичь общей цели.
- Конкуренция: В других играх игроки соревнуются друг с другом, что может вызывать агрессию и желание победить любой ценой.
Стиль игры:
- Агрессивный: Игроки, склонные к риску и быстрому наступлению.
- Осторожный: Игроки, предпочитающие более консервативный подход и избегающие рисков.
- Адаптивный: Игроки, способные быстро адаптироваться к изменениям ситуации и изменять свою стратегию.
Принятие решений:
- Рациональное: Игроки, принимающие решения на основе логики и анализа ситуации.
- Эмоциональное: Игроки, позволяющие эмоциям влиять на их решения.
- Интуитивное: Игроки, полагающиеся на интуицию и опыт.
Взаимодействие с другими игроками:
- Соревновательность: Игроки, стремящиеся победить любыми средствами.
- Сотрудничество: Игроки, готовые к сотрудничеству и помощи другим.
- Обман: Игроки, использующие обман и манипуляции для достижения победы.

5. Примеры и приложения

Вот несколько примеров применения стратегий в математических играх с фишками:

Игра с 2024 фишками (Классическая вариация): Первый игрок может победить, убрав 1012 фишек на первом ходу, заставляя противника столкнуться с проигрышной позицией.
Игра с 12 фишками (Вариация с фиксированным количеством фишек): Первый игрок может победить, убрав 2 фишки на первом ходу, заставляя противника столкнуться с проигрышной позицией.
Динамическая игра на вычитание (Stack Exchange): Если функция f(x) = x + 2, то игрок, который может заставить противника столкнуться с кучей, количество фишек в которой является степенью двойки минус 1 (например, 1, 3, 7, 15), победит.
Ним (Википедия): Рассмотрим игру с кучами из 3, 4 и 5 фишек. Nim-сумма равна 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2. Первый игрок может победить, убрав 2 фишки из кучи из 3, оставив nim-сумму равной 0. Независимо от того, что делает противник, первый игрок всегда может заставить nim-сумму вернуться к 0, в конечном итоге выиграв игру.

6. Заключение

Математические игры с фишками – это не просто развлечение, но и ценный инструмент для развития когнитивных способностей. Понимание психологии игроков и их поведения в процессе игры позволяет создавать более эффективные методики обучения, тренировки и реабилитации.

7. Рекомендации для будущих исследований

Исследовать влияние различных типов математических игр на развитие различных когнитивных способностей.
Разработать методики для оценки уровня когнитивных способностей игроков на основе их поведения в игре.
Провести исследования, направленные на изучение влияния социальных взаимодействий на принятие решений в играх.

8. Список литературы

30 игр на развитие воображения у детей дошкольного возраста - https://academy-of-curiosity.ru/tematicheskie-zadaniya/igry-na-razvitie-voobrazheniya-u-detej/
10 Лучших Математических Игр Для Скучающих Учеников K12 | 2024 Год - https://ahaslides.com/ru/blog/classroom-maths-games/
[1808.03494] On the Complexity of Solving Subtraction Games - arXiv.org - https://arxiv.org/abs/1808.03494
Математика в играх и геймификации | Проект предполагает использование ... - https://begemot.ai/projects/52187-matematika-v-igrax-i-geimifikacii
Combinatorial Games - Winning Positions | Brilliant Math & Science Wiki - https://brilliant.org/wiki/combinatorial-games-winning-positions/
Nim | Brilliant Math & Science Wiki - https://brilliant.org/wiki/nim/
Sprague Grundy Theorem | Brilliant Math & Science Wiki - https://brilliant.org/wiki/sprague-grundy-theorem/
Игровая Психология: Как Игры Влияют на Ваше Решение в Реальной Жизни ... - https://compaex.ru/igry/igrovaya-psihologiya-kak-igry-vliyayut-na-vashe-reshenie-v-realnoj-zhizni/
4 Great Classroom Games to Get at Real Mathematical Strategy and ... - https://corwin-connect.com/2022/01/4-great-classroom-games-to-get-at-real-mathematical-strategy-and-fluency/
How to win at Nim - Cosmos - https://cosmosmagazine.com/science/mathematics/how-to-win-at-nim/
Sprague-Grundy theorem. Nim - Competitive Programming Algorithms - https://cp-algorithms.com/game_theory/sprague-grundy-nim.html
Dynamic subtraction game - Computer Science Stack Exchange - https://cs.stackexchange.com/questions/16820/dynamic-subtraction-game
Психологические особенности игроков в компьютерные игры - https://cyberleninka.ru/article/n/psihologicheskie-osobennosti-igrokov-v-kompyuternye-igry
ВЛИЯНИЕ НАСТОЛЬНЫХ ИГР НА СОЦИАЛИЗАЦИЮ ПОДРОСТКОВ - https://cyberleninka.ru/article/n/vliyanie-nastolnyh-igr-na-sotsializatsiyu-podrostkov
Playing the probabilities in Settlers of Catan – David Richeson ... - https://divisbyzero.com/2010/01/06/playing-the-probabilities-in-settlers-of-catan/
Изучая видеоигры: что такое Game Studies и откуда они - https://dtf.ru/games/900229-izuchaya-videoigry-chto-takoe-game-studies-i-otkuda-oni-vzyalis
Chip-firing game - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Chip-firing_game
Nim - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Nim
Sprague-Grundy theorem - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Sprague–Grundy_theorem
How To Play Damath (With Printable Damath Board and Chips) - https://filipiknow.net/damath-board/
Психологические исследования в геймдеве / Общее / Форум / Игровой ... - https://gamedev.ru/gamedesign/forum/?id=175502
Sprague-Grundy theorem. Nim - GitHub: Let's build from here - https://github.com/cp-algorithms/cp-algorithms/blob/master/src/game_theory/sprague-grundy-nim.md
Теория игр: Введение / Хабр - Habr - https://habr.com/ru/articles/163681/
Методы удержания игроков: примеры из игр различных жанров - https://habr.com/ru/articles/417931/
Теория игр: принятие решений с примерами на Kotlin / Хабр - https://habr.com/ru/articles/425609/
A survivor's guide to Artificial Intelligence courses at Stanford ... - https://huyenchip.com/2018/03/30/guide-to-Artificial-Intelligence-Stanford.html
Соревновательные настольные игры: стратегии и азарт соперничества ... - https://igrynastole.com/sorevnovatelnye-nastolnye-igry-strategii-i-azart-sopernichestva/
Стратегические настольные игры: мастерство планирования и тактики для ... - https://igrynastole.com/strategicheskie-nastolnye-igry-masterstvo-planirovaniya-i-taktiki-dlya-pobedy/
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ КАК ФАКТОР РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ... - https://infourok.ru/matematicheskie-igry-kak-faktor-razvitiya-logicheskogo-myshleniya-mladshih-shkolnikov-7238755.html
Exploring The Game of Nim - OpenGenus IQ - https://iq.opengenus.org/game-of-nim/
Starting Chip Count in Poker: Everything You Need to Know - https://leovegasin.com/blog/starting-chip-count-in-poker-everything-you-need-6/
Математические игры — отличная разминка для мозга — Лайфхакер - https://lifehacker.ru/math-games/
Игры и задания для развития пространственного мышления дошкольника - https://logiclike.com/math-logic/interesno-polezno/doshkolnik-prostranstvennoe-myshlenie
Секреты мастерства - эффективные стратегии игры с фишками в игру "а 4 ... - https://maniamods.ru/video/sekrety-masterstva-effektivnye-strategii-igry-s-fishkami-v-igru-a-4
Игры | Математические занятия - Math Center - https://math-center.org/ru-RU/games/
Математические игры Интерактивный | Математические занятия - https://math-center.org/ru-RU/interactive/math-games/
combinatorics - Dynamic subtraction game with function - Mathematics ... - https://math.stackexchange.com/questions/3612259/dynamic-subtraction-game-with-function
contest math - Take-away game problem - find the winning strategy ... - https://math.stackexchange.com/questions/4287635/take-away-game-problem-find-the-winning-strategy
Optimal strategy for chips game - Mathematics Stack Exchange - https://math.stackexchange.com/questions/4740730/optimal-strategy-for-chips-game
Game with 2024 chips to remove - Mathematics Stack Exchange - https://math.stackexchange.com/questions/4888455/game-with-2024-chips-to-remove
What is the sprague-grundy value of these games? - https://math.stackexchange.com/questions/917062/what-is-the-sprague-grundy-value-of-these-games
Name of a game : Remove two chips from a vertex or one chip from both ... - https://mathoverflow.net/questions/406415/name-of-a-game-remove-two-chips-from-a-vertex-or-one-chip-from-both-ends-of-an
Nim-like(?) game winning strategy? - MathOverflow - https://mathoverflow.net/questions/81499/nim-like-game-winning-strategy
10 главных игр, в которые математики играют с нашим умом и совестью ... - https://medium.com/eggheado-science/10-5fb582ca7869
9 полезных математических игр для детей и их родителей | Мел - https://mel.fm/ucheba/shkola/2974615-math_games
Мотивация в психологии: история и современное состояние проблемы - https://moluch.ru/archive/345/77509/
Математические игры как средство развития логического мышления у детей ... - https://moluch.ru/archive/471/104121/
Настольные игры как современный инструмент работы психолога в ... - https://moluch.ru/conf/psy/archive/236/11111/
Essential Guide: How Many Poker Chips for 6 Players - https://mostmuscular.com/how-many-poker-chips-for-6-players/
картотека игр на развитие воображения у детей дошкольного возраста ... - https://nsportal.ru/detskii-sad/korrektsionnaya-pedagogika/2018/12/23/kartoteka-igr-na-razvitie-voobrazheniya-u-detey
Игры и упражнения на развитие эмоциональной сферы детей - https://nsportal.ru/detskii-sad/korrektsionnaya-pedagogika/2021/03/14/igry-i-uprazhneniya-na-razvitie-emotsionalnoy
математические игры как средство развития логического мышления ... - https://nsportal.ru/detskii-sad/vospitatelnaya-rabota/2020/02/07/matematicheskie-igry-kak-sredstvo-razvitiya
математические игры как средство развития логического мышления у ... - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2016/03/13/matematicheskie-igry-kak-sredstvo-razvitiya-logicheskogo
логические и математические игры как средство развития мышления у ... - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2019/03/28/logicheskie-i-matematicheskie-igry-kak-sredstvo-razvitiya
Картотека подвижных игр с маттематическим содержанием - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2019/08/11/kartoteka-podvizhnyh-igr-s-mattematicheskim-soderzhaniem
Простые игры на развитие пространственного мышления - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2020/10/25/prostye-igry-na-razvitie-prostranstvennogo-myshleniya
Сборник подвижных игр с математическим содержанием - https://nsportal.ru/detskiy-sad/matematika/2021/01/05/sbornik-podvizhnyh-igr-s-matematicheskim-soderzhaniem
коллекция дидактических игр на развитие воображения дошкольников ... - https://nsportal.ru/detskiy-sad/raznoe/2015/03/28/kollektsiya-didakticheskih-igr-na-razvitie-voobrazheniya-doshkolnikov
Игры на развитие пространственного мышления и воображения - https://nsportal.ru/detskiy-sad/raznoe/2020/09/07/igry-na-razvitie-prostranstvennogo-myshleniya-i-voobrazheniya
Игры, которые сделают математику любимым уроком ваших учеников - https://osvitoria.media/ru/experience/igry-shho-zroblyat-matematyku-ulyublenym-urokom-vashyh-uchniv-2/
8 математических игр для дошкольников и младшеклассников от Жени Кац - https://pedsovet.org/article/8-matematiceskih-igr-dla-doskolnikov-i-mladseklassnikov-ot-zeni-kac
Приложения в Google Play - FunMath: Math Games for All - https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mt.math.games&hl=ru
Play to win with Nim | plus.maths.org - https://plus.maths.org/content/play-win-nim
Poker ICM - Using the Independent Chip Model In Tournaments - https://pokercoaching.com/blog/poker-icm/
Figuring Out the Perfect Number of Starting Poker Chips - https://pokermanual.com/how-many-poker-chips-do-you-start-with/
Психология и веселье: зачем люди увлекаются настольными играми - https://psyholic.ru/eto-polezno/psihologiya-i-vesele-zachem-lyudi-uvlekayutsya-nastolnymi-igrami.html
Влияние игр с правилами на произвольную регуляцию детей 6—7 лет - https://psyjournals.ru/journals/chp/archive/2017_n4/Savina_Savenkova_Shchekotikhina
Психолого-педагогическая экспертиза настольных игр - https://psyjournals.ru/journals/pse/archive/2011_n2/42009
Взаимосвязь увлеченности онлайн-играми и мотивации к обучению ... - https://psyjournals.ru/journals/pse/archive/2021_n4/Kochetkov_Volozhaeva
mathematics - Another variation of the game of Nim - Puzzling Stack ... - https://puzzling.stackexchange.com/questions/77842/another-variation-of-the-game-of-nim
Фишечная игра — Википедия - https://ru.wikipedia.org/wiki/Фишечная_игра
Основы теории игр: математика для чайников / Skillbox Media - https://skillbox.ru/media/code/chto-takoe-teoriya-igr-i-kak-ona-pomogaet-pobezhdat/
Anyone can play Tetris, but architects, engineers and animators alike ... - https://theconversation.com/anyone-can-play-tetris-but-architects-engineers-and-animators-alike-use-the-math-concepts-underlying-the-game-220915
Starting Strong: Optimal Poker Chip Count Revealed - https://thedopeart.com/blogs/poker-insights/how-many-poker-chips-do-you-start-with
Play to Win with Nim | wild.maths.org - https://wild.maths.org/play-win-nim
Как развивать пространственное воображение ребенка - https://www.analogi.net/detyam/razvitie-i-vospitanie/prostranstvennoe-voobrazhenie-uprazhneniya-dlya-razvitiya
10 психологических игр - https://www.b17.ru/blog/psychological_games/
Увлекательные математические игры: учитесь, одновременно развивая ... - https://www.cognifit.com/ru/cool-math-games
Cool Math Games - Free Online Games for Learning and Fun - https://www.coolmathgames.com/
More chip counting exercises | Denexa Games - https://www.denexa.com/blog/more-chip-counting-exercises/
Digital Math Games and Apps: What Works and What Doesn't? - Education Week - https://www.edweek.org/teaching-learning/digital-math-games-and-apps-what-works-and-what-doesnt/2020/12
Список настольных игр, которые помогут развить математические ... - https://www.forbes.ru/education/513026-nastol-nye-igry-kotorye-pomogut-razvit-matematiceskie-sposobnosti
The 21 Best Strategy War Games of All Time | GAMERS DECIDE - https://www.gamersdecide.com/articles/best-strategy-war-games-1
Combinatorial Game Theory | Set 2 (Game of Nim) - GeeksforGeeks - https://www.geeksforgeeks.org/combinatorial-game-theory-set-2-game-nim/
Combinatorial Game Theory | Set 4 (Sprague - Grundy Theorem) - https://www.geeksforgeeks.org/combinatorial-game-theory-set-4-sprague-grundy-theorem/
Dynamic Programming in Game Theory for Competitive Programming - https://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-in-game-theory-for-competitive-programming/
Настольные игры - тренинг жизненных стратегий - https://www.psyh.ru/nastolnye-igry-trening-zhiznennyh-strategij/
Math Games of Martin Gardner Still Spur Innovation - https://www.scientificamerican.com/article/math-games-of-martin-gardner-still-spur-innovation/
Mastering the Match: Advanced Tennis Tactics for Victory - https://www.tennisworldusa.org/tennis/news/Tennis_Technique/141208/mastering-the-match-advanced-tennis-tactics-for-victory/
Counting with manipulatives to learn addition: An evidence-based ... - https://www.understood.org/en/articles/counting-with-manipulatives-to-learn-addition-an-evidence-based-math
Математические игры Онлайн: Играйте Бесплатно На Яндекс Игры - https://yandex.ru/games/tag/matematicheskie_159
Теории игр: революционные исследования в психологии стратегий и тактик - https://психология-360.рф/populyarnoe/teorii-igr-revolyuczionnye-issledovaniya-v-psihologii-strategij-i-taktik/